fastpunktsmetoden

Fastpunktsmetoden, eller fixpunktsmetoden, är en enkel iterativ metod för att hitta ett fixpunkt x* där x* = g(x*). G är en given funktion definierad på ett intervall I. Med startvärdet x0 beräknas följande sekvens: x_{n+1} = g(x_n). Om sekvensen konvergerar mot x*, uppfyller x* lika med g(x*). Metoden används ofta för att lösa icke-linjära ekvationer genom att omforma f(x) = 0 till x = g(x).

Villkoren för konvergens är centrala. Om g är en kontraktion på I, det vill säga det finns 0 ≤ q < 1 så att |g(x) - g(y)| ≤ q|x - y| för alla x, y i I, kommer sekvensen att konvergera till den unika fixpunkten x* oavsett startvärde x0 i I. Differentiella villkor: om g är deriverbar i närheten av x*, är tillräckligt att |g'(x*)| < 1; feltermen e_{n+1} ≈ g'(x*) e_n ger linjär konvergens med faktor |g'(x*)|. I praktiken är kontraktionsvillkoret ofta svårt att verifiera globalt, men det ger garantier om lokal konvergens.

Praktiska råd: välj g så att det naturligt leder till långsiktig konvergens, ofta genom omformulering av f(x) = 0 till x = g(x). Vid problem med konvergens kan man använda dämpning: x_{n+1} = x_n + λ (g(x_n) - x_n), där 0 < λ ≤ 1. Exempel: lösa x = cos x med x_{n+1} = cos x_n; fixpunkten är ungefär 0,739085. Jämfört med Newtons metod är fastpunktsmetoden enklare och kräver mindre per-iteration beräkningar, men konvergensen är generellt linjär och inte alltid garanterad utan lämpliga villkor.