exponentialfamiljen

Exponentialfamiljen, eller den exponentiella familjen, är en klass av sannolikhetsfördelningar som kan skrivas i standardformen f(x; η) = h(x) exp( η^T T(x) − A(η) ). Här är h(x) basmått, T(x) en eller flera funktioner som utgör en tillräcklig statistik, η den naturliga parameteren och A(η) den normaliserande funktionen. I denna form är T(x) ofta en tillräcklig statistik, och A(η) ser till att fördelningen är normaliserad till 1.

Vissa egenskaper är att första- och andraderivatorna av A ger medelvärdet respektive variansen av T(X): E[T(X)] = ∂A/∂η, Var[T(X)] = ∂^2 A/∂η^2. För flerdimensionella fall motsvarar derivatorna kovariansen mellan komponenterna i T(X).

Denna familj inkluderar många vanliga fördelningar, till exempel normalfördelningen (vid lämpliga parametriseringar), Poissonfördelningen, Bernoulli samt Binomial med fast n, samt gamma under rätt parametrisering. Exponentialfamiljen uppvisar ofta bekväma egenskaper i statistisk inferens: till exempel tillgång till sufficiente statistiker och konjugerade priors i Bayes-modeller, samt kopplingen till generaliserade linjära modeller via den kanoniska länken.

Notera att inte alla fördelningar tillhör denna familj; särskilt saknar vissa distributioner enkel exponentiell form. En utvidgad klass är den kurvade exponentialfamiljen, där mappingen från θ till η inte är en diffeomorfism.