erstordnungen

Erstordnungen bezeichnen Objekte in der Mathematik, bei denen die höchste Ableitung ersten Ordnung ist. In der Praxis beschreibt der Begriff eine Familie von Gleichungen oder Systemen, deren dynamische Veränderung durch eine erste Ableitung der Zustandsgröße bestimmt wird. Typische Beispiele findet man in Differentialgleichungen, in der Systemtheorie sowie in Modellen zur Relaxation oder zu Wachstumsvorgängen.

Bei Differentialgleichungen handelt es sich um Gleichungen der Form y'(t) = F(t, y(t)) oder allgemein x'(t) = F(t, x(t)). Dazu gehören Anfangswertprobleme y(t0) = y0, für die unter geeigneten Rand- bzw. Lokalisierungsbedingungen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gelten (Lipschitz-Bedingung). Lineare Gleichungen erster Ordnung, etwa y'(t) + p(t) y(t) = q(t), lösen sich durch das Integrierfaktor-Verfahren μ(t) = exp(∫ p dt). Trennbare Gleichungen lassen sich durch Separation lösen.

In der Systemtheorie und Regelungstechnik werden Systeme erster Ordnung oft in der Zustandsraumdarstellung x' = Ax + Bu, y = Cx + Du beschrieben. Solche Modelle zeigen typischerweise exponentielle Reaktionen, charakterisiert durch eine Zeitkonstante τ. Systeme höherer Ordnung lassen sich durch Einführung zusätzlicher Zustandsvariablen in äquivalente erstordnige Systeme überführen, was die Analyse erleichtert.

Im logischen bzw. formalen Kontext wird der Begriff Erstordnung eher in der Form Erstordnungslogik verwendet; der Plural Erstordnungen ist hier unüblich. In der Mathematik wird der Begriff vor allem im Zusammenhang mit Differentialgleichungen und dynamischen Systemen verwendet.