ellittiche

Le curve ellittiche sono oggetti centrali dell'algebra geometrica e della teoria dei numeri. Il termine ellittiche, nel linguaggio matematico, si riferisce alle curve ellittiche e, più in generale, a oggetti correlati come le funzioni ellittiche. In ambito aritmetico, una curva ellittica è una varietà algebrica proiettiva liscia di genere uno, dotata di un punto di origine razionale e descritta, su un campo K di carattere diverso da 2 e 3, dall'equazione di Weierstrass y^2 = x^3 + ax + b con discriminante Δ ≠ 0.

Il gruppo di punti della curva, inclusi l'infinito, forma un gruppo abeliano; la somma tra due punti è definita geometricamente tramite la corda e la tangente. Questa proprietà la rende uno strumento chiave in problemi di aritmetica e ha profonde implicazioni in teoria dei numeri.

Le curve ellittiche sono classificate attraverso invarianti come il j-invariant; due curve sono isomorfe su campi algebrici chiusi se e solo se hanno lo stesso j. Su campi complessi, una curva ellittica è analiticamente un toro C/Λ, con Λ una lattice in C.

Le applicazioni includono la crittografia a curve ellittiche (ECC), che permette di garantire lo stesso livello di sicurezza con chiavi significativamente più corte rispetto ad altri sistemi; in matematica, le curve ellittiche sono al centro di studi sulla modularità, sulle congetture di aritmetica e sulle funzioni L. Hanno inoltre un ruolo nello studio delle soluzioni di equazioni diofantee.

È utile distinguere le curve ellittiche dalle funzioni ellittiche: le prime sono oggetti geometrici con un gruppo di punti, le seconde sono funzioni complesse periodiche.