elementtijoukkoa

Elementtijoukko on matematiikassa määritelty kokoelma erillisiä objekteja, joita kutsutaan joukkoon kuuluviksi. Joukko merkitään tavallisesti sulkeisiin, esimerkiksi A = {a, b, c}. Jäsenyys ilmaistaan merkinnällä a ∈ A tai a ∉ A. Joukko eroaa listasta siten, että sen jäsenillä ei ole määrättyä järjestystä eikä alkiota voi esiintyä useaan kertaan. Joukot voivat olla pienia tai suuria ja ne voivat olla finiteja tai infiniteja.

Joukkoja käytetään hyvin erilaisten asioiden kuvaamiseen ja ne voivat sisältää melkein mitä tahansa: lukuja, kirjaimia, olioita tai jopa muita joukkoja. Esimerkkejä ovat yleinen joukko N, jossa on luonnolliset luvut {0, 1, 2, ...}, sekä joukko kirjaimia A = {a, b, c, …}. Yleinen tapa ilmaista joukko koostumusta on looginen määrittely tai ominaisuuksien perusteella määritelty joukko, esimerkiksi B = {x | x on luonnollinen luku ja x on parillinen}.

Joukkojen perusoperaatiot ovat unioni, leikkaus ja erotus. Unionilla A ∪ B tarkoitetaan kaikkia alkioita, jotka kuuluvat joko A:han tai B:hen tai molempiin. Leikkauksella A ∩ B tarkoitetaan alkioita, jotka kuuluvat sekä A:han että B:hen. Erotus A \ B koostuu niistä alkioista, jotka kuuluvat A:han mutta eivät B:hen. Komplementti A^c riippuu valitusta universaalista joukosta U: kaikki alkiot, jotka kuuluvat U:hun mutta eivät A:han. Subset-merkinnät A ⊆ B ja A ⊂ B kuvaavat tilaa, jossa A:n alkiot kuuluvat myös B:hen.

Elementtijoukkoja tarkastellaan myös ominaisuuksiin perustuen ja niistä muodostetaan usein suurempia rakenteita, kuten potenssijoukko (kaikki alijoukot) tai funktiot ja suhteet niiden välillä. Avoin ja tarkka määrittely sekä epäilyt paradokseille ovat keskeisellä sijalla set-teoriassa, jonka perusperiaatteet rakennetaan joukkojen logiikan pohjalta. Joukkoja käytetään laajasti matematiikassa, logiikassa ja tietojenkäsittelytieteissä.