eigenarviongelmassa

Egenvärdesproblem, också kallat eigenarviongelmassa, är uppgiften att hitta ett skalärt värde λ (eigenvärde) och en icke-noll vektor v (eigenvektor) så att Av = λv, där A är en given kvadratisk matris.

För varje kvadratisk matris över komplexa fält finns det lika många eigenvärden som dimensionen n, räknat med algebraisk multiplicitet. Dessa eigenvärden uppträder som rötter till det karakteristiska polynomet p(λ) = det(A − λI).

I allmänhet kan eigenvärden vara komplexa; för verkliga matriser uppträder de ofta i komplexa konjugatpar. Om A är reell och symmetrisk (eller hermitisk i komplexa fält) är eigenvärdena reella och det går att skriva A = QΛQ^T med en ortonormal kolonnbas i Q och en diagonal Λ med eigenvärdena.

Algebraisk multiplicitet anger hur många gånger λ uppträder som rot, geometrisk multiplicitet är dimensionen av egenrummet {v | Av = λv}. En matris är diagonalisierbar om antalet linjärt oberoende eigenvektorer motsvarar dimensionen.

Generaliserade eigenvärdesproblem har formen Av = λBv, där B ofta är positivt definierad. Lösningarna λ är rötter till polynomet det(A − λB) = 0.

Numeriska metoder för beräkning av eigenvärden inkluderar power-metoden, inversionsmetoden, QR-algoritmen samt Lanczos- och Arnoldi-metoder för stora sparsamma problem.

Användningsområden omfattar vibrationer och modalanalys, stabilitetsanalys, principalkomponentanalys (PCA), kvantmekanik, kontrollteori och lösningar av differentialekvationer.