Egenvärdesproblem

Egenvärdesproblem är en fråga i linjär algebra där man söker skalärer λ och icke-nullda vektorer x sådana att A x = λ x, där A är en kvadratisk n×n-matris. Om A är real och λ är komplex kan också x vara komplex. Egenvärdena erhålls som rötter till karakteristiska polynomet det(A − λI) = 0.

Grunderna är att egenvärdena beskriver hur en linjär avbildning A skalar och orienterar längs vissa riktningar kallade egenriktningar. För reella symmetriska matriser är alla egenvärden reala och tillhörande egenvektorer kan väljas ortogonala. Generellt kan egenvärden vara komplexa och uppträda i konjugerade par. Om A har n linjärt oberoende egenvektorer är A diagonaliserbart: A = V Λ V^{-1}, där Λ är diag(λ1,...,λn).

Egenskaper vid multiplicitet: Den algebraiska multipliciteten av ett eigenvärde λ är antalet rötter till det(A − λI) vid λ, medan den geometriska multipliciteten är dimensionen av egenrumet N(A − λI). Generellt gäller att geometrisk multiplicitet ≤ algebraisk multiplicitet. För olika eigenvärden är egenvektorerna linjärt oberoende; för symmetriska matriser kan de väljas ortogonala.

Allmänna eller generaliserade problem: I praktiken uppstår ofta A x = λ B x med B ≻ 0, vilket kallas ett generaliserat eigenvärdesproblem. Left-eigenvektorer y^T uppfyller y^T A = λ y^T. Numeriska metoder används för stora problem, bland annat power iteration, inverse iteration, QR-algoritmen samt Arnoldi- eller Lanczos-procedurer.

Användningar: Egenvärden och egenvektorer beskriver stabilitet och naturliga frekvenser i mekaniska vibrationer, modulanalys, dataanalys (PCA), sidor som PageRank och stationära tillstånd i Markov-kedjor samt inom kvantmekanik.

Exempel: A = [[2,1],[0,3]] har eigenvärdena λ1 = 2 och λ2 = 3. Egenvektorerna är x1 = [1,0]^T för λ1 och x2 = [1,1]^T för λ2.