dystrybucje

Dystrybucje, czyli rozkłady prawdopodobieństwa, opisują, jakie wartości może przyjąć losowa zmienna i z jakim prawdopodobieństwem. Służą one do modelowania niepewności w zjawiskach losowych i stanowią podstawę wielu metod w statystyce, analizie danych i teorii prawdopodobieństwa.

Dystrybucje dzielimy na dyskretne i ciągłe. Dystrybucje dyskretne przyjmują wartości z przeszeregowanego, skończonego lub przeliczalnego zbioru (np. 0, 1, 2, ...). Przykłady to Bernoulliego (ślepy/nieślepy wynik jednego eksperymentu), Binomialna (liczba sukcesów w ustalonej liczbie prób), Geometriczna (liczba prób do pierwszego sukcesu) i Poissona (liczba zdarzeń w stałym okresie). Dystrybucje ciągłe mają wartości na przedziale rzeczywistych lub w jego części, np. Uniform, Normalny (Gaussa), Exponentialny, Gamma, Beta.

Główne funkcje opisujące dystrybucje to funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) dla dystrybuji dyskretnych, funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) dla dystrybuji ciągłych oraz funkcja dystrybuanty (CDF), F(x) = P(X ≤ x), która łączy oba przypadki. Własności podstawowe obejmują nieujemność i całkowite zsumowanie (dla PMF) lub całkowitą całkę (dla PDF, która prowadzi do 1 w całej przestrzeni wartości). Charakterystyka rozkładu obejmuje miary takie jak oczekiwana wartość E[X], wariancja Var(X) i inne momenty.

Zastosowania obejmują modelowanie niepewności, szacowanie parametrów, testy statystyczne oraz symulacje. W praktyce często estymuje się rozkład empiryczny z danych (histogramy, KDE) lub dopasowuje parametry teoretycznych rodzin dystrybucji. Dystrybucje są także podstawą metod inferencji i decyzji w naukach przyrodniczych, ekonomii i inżynierii.