dystrybuanty

Dystrybuanty, w liczbie mnogiej, to funkcje opisujące rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Dla zmiennej X dystrybuanta F jest zdefiniowana jako F(x) = P(X ≤ x). Dzięki temu całkowite prawdopodobieństwo przyjmowania wartości nie przekracza x jest znane w jednym miejscu.

Właściwości: dystrybuanty są nieujemne i niemalejące. Są prawostronnie ciągłe i mogą mieć skoki w punktach odpowiadających wartościom, które przyjmuje X w rozkładzie skokowym. Granice wynoszą: lim_{x→-∞} F(x) = 0 oraz lim_{x→+∞} F(x) = 1 dla rozkładu pełnego. W przypadku rozkładów ciągłych F jest gładka i różniczkowalna tam, gdzie istnieje gęstość f, z zależnością F'(x) = f(x). Dla rozkładów mieszanych F może mieć zarówno skoki, jak i częściowo ciągłe.

Relacja do rozkładu: dystrybuanty jednoznacznie określają rozkład zmiennej X. Dla rozkładów dyskretnych F(x) = ∑_{t ≤ x} P(X = t); dla rozkładów ciągłych F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt, gdzie f jest gęstością nieposiadającą punktowej masy.

Odwrotność i zastosowania: odwrotna dystrybuanta F^{-1}(p) nazywana jest funkcją kwantylową, używana w generowaniu losowych liczb metodą odwrotnej transformacji. Dystrybuanty umożliwiają obliczanie prawdopodobieństw przedziałów, opisują ryzyko w finansach i służą w wnioskowaniu statystycznym.

Wersje wielowymiarowe: dla dwóch zmiennych X i Y dystrybuanta F_{X,Y}(x,y) definiuje P(X ≤ x, Y ≤ y). Znane są także marginesy i zależności między dystrybuantami.