diskriminanten

Diskriminanten, im Plural Diskriminanten, bezeichnet in der Mathematik eine Größe, die aus der Koeffizientenfolge eines Polynoms oder einer quadratischen Form abgeleitet wird und Informationen über die Struktur der Nullstellen liefert. Allgemein ist die Diskriminante so konstruiert, dass sie verschwindet, wenn das zugehörige Polynom mindestens eine mehrfache Nullstelle hat; ihr Vorzeichen oder ihr Betrag gibt oft Hinweise auf die Art der Nullstellen oder auf Singuläritäten von Kurven.

Für quadratische Polynome p(x) = ax^2 + bx + c ist die Diskriminante D = b^2 − 4ac. Ist D größer als Null, besitzt p zwei reelle Wurzeln; D = 0 führt zu einer doppelten Wurzel; D kleiner als Null entspricht komplexen konjugierten Wurzeln. In weiter gefassten Kontexten gilt diese Formel analog für Polynome über beliebigen Feldern.

Bei allgemeinen Polynomen p(x) = a_n x^n + ... + a_0 ist die Diskriminante Disc(p) gleich dem Produkt der quadratischen Abstände der Nullstellen: Disc(p) = a_n^{2n−2} ∏_{i<j} (r_i − r_j)^2, wobei r_i die Nullstellen von p sind. Sie lässt sich auch als Disc(p) = (−1)^{n(n−1)/2} (1/a_n) Res(p, p'), ausdrücken, wobei Res der Resultant ist. Die Diskriminante verschwindet genau dann, wenn p eine Mehrfachwurzel besitzt.

Neben Polynomen erscheinen Diskriminanten auch in der Theorie der binären quadratischen Formen (Diskriminante Δ = b^2 − 4ac), in der Zahlentheorie und in der algebraischen Geometrie, etwa als Hinweis auf Singularitäten oder als Kenngröße bei Faserungen in Familien von Kurven.