differeniaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattoman funktion sekä tämän funktion derivaattoja. Ne ilmaisevat muutosnopeuksia ja riippuvuuksia eri suureiden välillä, minkä vuoksi ne kuvaavat monia fyysisia, teknisiä ja biologisia ilmiöitä sekä taloudellisia prosesseja.

Luokittelu. Yleisessä muodossa ne jaetaan riippumattoman muuttujan määrän mukaan ODEihin (one-variable, yhden riippumattoman muuttujan mukaan) ja PDEihin (partial, useammalla riippuvalla muuttujalla). Järjestyksen perusteella erotetaan ensinnäkin ensimmäisen ja toisen sekä korkeamman kertaluvun yhtälöt. Lineaarisuus sekä homogeenisuus ovat yleisiä luokituksia; epälineaariset ja epähomogeeniset esiintyvät käytännössä usein. Ratkaisut voivat olla alkuehdot (initial value problem, IVP) tai reunaehdoilla (boundary value problem, BVP) määräytyviä.

Ratkaisun käsite. Yleinen ratkaisu sisältää vapaat parametrit, jotka määräytyvät annetuilla ehdoilla. Erikoisratkaisut vastaavat tiettyjä alkuehtoja tai reunaehtoja. Eksistenssi- ja yksikertaisuuslauseet (esim. Picard–Lindelöf) antavat teoreettisen perustan sille, milloin ratkaisu on olemassa ja yksikertainen tietyllä alueella.

Menetelmät. Analyyttiset menetelmät kattavat esimerkiksi erottelun, integroida tekijä -menetelmän sekä variaation parametriä varten lineaarista tai epälineaarista järjestelmiä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöissä käytetään erotusmenetelmiä, Fourier- ja Laplace-muunnoksia sekä erikoistekniikoita. Numeriset menetelmät, kuten Eulerin tai Runge–Kuttan menetelmät sekä finite difference -menetelmät, soveltuvat usein käytännön laskutukseen.

Esimerkkejä. Yksi ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ODE dy/dx = ay johtaa ratkaisuun y = Ce^{ax}. Toisen kertaluvun vakio-eroittain lineaarinen yhtälö y'' + ω^2 y = 0 antaa ratkaisut sinusoideina ja cosinuksina. Sitä vastaa osittaisdiffenian lämpöyhtälö ∂u/∂t = α ∂²u/∂x², jota käytetään lämpötilan johtumisen mallintamiseen. Differentiaaliyhtälöt muodostavat keskeisen työkalun monien ilmiöiden ymmärtämisessä ja ennustamisessa.