lämpöyhtälö

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaalinen yhtälö, joka kuvaa lämpötilan muutosta aineen sisällä johtumisen vaikutuksesta. Yleensä sitä pidetään muodossa ∂u/∂t = α ∇²u, jossa u(x,t) on lämpötilakomponentti paikkakoordinaatistossa Ω ja t on aika. ∇² on Laplaceen operaattori ja α on lämpölevyvyys (thermal diffusivity), joka määritellään α = κ/(ρ c), missä κ on lämpöjohtavuus, ρ tiheys ja c ominaislämpökapasiteetti. Lämpöyhtälö perustuu energian säilymiseen sekä Fourierin lakiin, jonka mukaan lämmönjohtavuuden suunta on lämpötilagradientin suunta.

Yhden muuttujan tapauksessa, kun lämpötila riippuu vain x ja t, kirjoitetaan lämpöyhtälö muodon ∂u/∂t = α ∂²u/∂x². Tätä kuvataan usein 0 < x < L ja t > 0. Reunailmauksilla voidaan asettaa Dirichlet-rajat (u(0,t) tai u(L,t) määritelty), Neumann-rajat (∂u/∂n = q) tai Robin-rajat (h u + g ∂u/∂n = r). Alkuoloehtona on u(x,0) = f(x).

Ratkaisukeinot: riippuen alueesta ja rajaoletuksista ratkaisut etsitään usein erottamistekniikalla, jolloin u(x,t) jaetaan tilan ja ajan osiin. Tämä johtaa tilasidonnaisiin eigenarvo-ongelmiin, joita voidaan ratkaista Fourier-sarjoilla tai Fujianin/Greenin funktioiden kautta. Lämpöyhtälöä käytetään laajasti sekä analyysissä että numeerisissa malleissa, kuten Finite Difference -menetelmissä ja Crank–Nicolson -menetelmässä.

Sovellukset kattavat lämpöjohtuminen rakennusmateriaaleissa ja teollisuusprosesseissa sekä yleisemmin diffuusionkaltaiset prosessit luonnossa ja biologiaan liittyvissä malleissa.