derivointimuodot

Derivointimuodot ovat matematiikassa käytettyjen derivoitumisen merkkien, käsitteiden ja rakenteiden kokonaisuus. Ne kuvaavat, miten derivaatta esitetään ja miten sitä käytetään eri konteksteissa, kuten yksimuuttujaisessa ja monimuuttujaisessa laskennassa sekä differentiaaligeometriassa.

Yksimuuttujaisessa laskennassa yleisimmät notaatio­t ovat Leibnizin notaatio df/dx ja Lagrangen merkintä f'(x). Newtonin piste-merkintä f˙(x) sekä monet kirjallisuuden standardit ovat myös käytössä riippuen kontekstista ja historiasta. Derivaatan arvo antaa funktion arvokehityksen nopeuden suhteessa muuttujaan.

Monimuuttujaisessa käytetään osittaisderivaattoja ∂f/∂x, ∂f/∂y sekä gradienttia ∇f, joka antaa kohtisuoran suurimman kasvun suunnan. Kokonaisderivaatta df kuvaa funktion muutosta pienellä muutoksella kaikissa muuttujissa. Jacobian-matriisi ja Jacobianin käsite liittyvät muunnosten lineaariseen approximaatioon. Suunnattu derivointi D_u f määrittelee derivaatan suhteessa tiettyyn suuntaan.

Korkeamääräiset derivoinnit kattavat toisen ja sitä suuremmat kertaluvut, kuten f''(x) tai d^2f/dx^2 sekä osittaisderivaattojen toisen kertaluvun ∂^2 f/∂x^2. Hessian-matriisi H_f kuvaa toisen kertaluvun muutoksen rakennetta.

Differential- ja geometria-näkökulmissa derivointimuodot liittyvät df:ään 1-formana, ja d tarkoittaa ulkomaaduttavaa Derivointia, jolla käsitellään käyrien ja pintojen differentiaaleja. Analyyttisissä yhteyksissä derivativeja voidaan tarkastella lineaarina mapina: Fréchet-derivaatta ja Gateaux-derivaatta.

Sovelluksia esiintyy fysiikassa, mekaniikassa, optimoinnissa ja taloustieteessä; ne auttavat mallintamaan nopeuksia, herkkyyksiä ja suuntia, joihin järjestelmät reagoivat. Historian taustalla ovat Leibniz ja Newton sekä Lagrange, jotka ovat kehittäneet eri notaatioita ja lähestymistapoja derivoituun.