convolução

Convolução é uma operação matemática que descreve a forma pela qual o conteúdo de uma função é modificado pela outra. Intuitivamente, representa uma média ponderada de f ao longo de g, com g sendo deslocada em relação ao tempo. A operação é fundamental em filtros lineares, processamento de sinais e sistemas dinâmicos.

Definições: contínua: (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ. Discreta: (f * g)[n] = Σ_{k = -∞}^{∞} f[k] g[n − k]. Em geral, para que a convolução exista, f e g precisam pertencer a espaços funcionais como L1 ou L2 e serem tratáveis numericamente.

Propriedades: a operação é comutativa (f * g = g * f), associativa e linear. Também é invariante a deslocamento, ou seja, deslocar f ou g resulta num deslocamento correspondente do resultado.

Convolução e transformadas: a transformada de Fourier da convolução é o produto das transformadas individuais (F{f * g} = F{f} · F{g}). Essa relação facilita a análise e a implementação de filtros. Em computação, a Convolução Discreta é comumente calculada via FFT para eficiência.

Aplicações: filtragem de sinais e de imagens (2D), soluções de equações diferenciais através de funções de Green, modelagem de variáveis aleatórias (convolução de PDFs de variáveis independentes), e em aprendizado de máquina, particularmente redes neurais convolucionais. A convolução também aparece em estatística, física e teoria de sistemas lineares.