bracketingmenetelmillä

Bracketingmenetelmillä tarkoitetaan juuren etsimiseksi käytettäviä numeerisia menetelmiä, joissa etsitään juurta väliltä [a,b] siten, että f(a) ja f(b) antavat vastakkaiset merkit tai jompikumpi arvo on nolla. Oletuksena on, että funktio f on jatkuva välillä [a,b] ja että väli sisältää ainakin yhden juuren. Menetelmät pienentävät säännöllisesti välin pituutta siten, että juuren olemassaolon periaate (välisäännön) säilyy.

Yleisimmät bracketing-menetelmät

- Biseptio (puolitus): valitaan c=(a+b)/2, lasketaan f(c) ja määritellään uusi väli siten, että f(a) ja f(c) tai f(c) ja f(b) vaihdetaan merkit. Välin pituus pienenee jokaisella askeleella, ja menetelmä on erittäin varma ja yksinkertainen, mutta tilannekohtaisesti hidas.

- Regula falsi (valeposio): käytetään lineaarista interpolointia, jotta valittaisiin uusi piste c, yleensä c=a - f(a)(b-a)/(f(b)-f(a)). Väli päivitetään siten, että f(a) ja f(c) tai f(c) ja f(b) vaihdettaavat merkkiä. Monesti nopeampi kuin biseptio, mutta voi kaventua hitaasti, jolloin toinen pää ei taivu sisään.

- Illinois- ja Anderson–Björck -parannukset: korjaavat regula falsin mahdollisia hidastumisia, säätämällä painotuksia tai merkittäviä arvojen päivityksiä, jotta väli ei juuttuu paikalleen.

Nykykäytössä bracketing-menetelmiä käytetään usein hybridimallisesti

- Brentin menetelmä yhdistää bracketingin luotettavuuden interpo­latori- ja takaisinotto-operaatioihin, jolloin saadaan sekä varmuutta että nopeutta. Se soveltuu laajasti juurien etsimiseen, kun tarvitaan sekä luotettavuutta että tehokkuutta.

Edut ja rajoitukset

- Edut: varmuus, että ratkaisu löytyy väliin kuuluvan juuren säilyttämisessä, ei edellytä derivoimista, toimiva myös epäselvissä lähtötilanteissa.

- Rajoitukset: voi olla hidasta ja epäedullista, jos juurta ei aiheuta signaalin vaihtelua (esim. kaksoisjuuri), tai jos ei löydy sopivaa alkuväliä, jossa f(a)f(b) ≤ 0.

---