binomialecoëfficiënt

De binomiale coëfficiënt, in het Nederlands ook wel binomiale coëfficiënt genoemd, is een getal dat aangeeft op hoeveel manieren men k elementen uit een verzameling van n elementen kan kiezen, zonder rekening te houden met de volgorde. Het wordt vaak genoteerd als binom(n,k) of {n \choose k}.

De waarde wordt gedefinieerd als binom(n,k) = n! / (k!(n−k)!), waarbij n en k gehele getallen zijn met 0 ≤ k ≤ n. De basisvoorwaarden zijn binom(n,0) = binom(n,n) = 1. Een belangrijke eigenschap is de symmetrie binom(n,k) = binom(n,n−k). Ook volgt er een recursiebinom(n,k) = binom(n−1,k−1) + binom(n−1,k), wat terug te zien is in Pascal’s driehoek.

De binomiale coëfficiënt verschijnt in de binomialtheorie: (x+y)^n = ∑_{k=0}^n binom(n,k) x^{n−k} y^k voor n ≥ 0. Daarnaast kan men de coëfficiënt generaliseren naar het geval waarin z geen niet-negatief geheel getal is: binom(z,n) = z(z−1)...(z−n+1)/n! voor n ∈ N, en verder wordt dit uitgedrukt met de gammafunctie als Γ(z+1)/(Γ(n+1)Γ(z−n+1)).

Toepassingen van de binomiale coëfficiënt bevinden zich onder meer in kansrekening (binomiale verdeling), combinatoriek, algebra en de studie van series. Een concreet voorbeeld: binom(5,2) = 10.