bilinéaires

En algèbre linéaire, un bilinéaire est une application B : V × V → F qui est linéaire dans chacun de ses arguments, où V est un espace vectoriel sur un corps F. Plus généralement, on considère une application bilinéaire B : U × V → F entre deux espaces vectoriels U et V sur le même corps. On dit que B est symétrique si B(u, v) = B(v, u) pour tous u, v, et qu’elle est alternée (ou antisymétrique) si B(v, v) = 0 pour tout v; en caractéristique différente de 2, une forme alternée est nécessairement skew-symétrique.

Une forme bilinéaire peut être représentée, dans un choix de bases, par une matrice A telle que B(x, y) = x^T A y pour les vecteurs coordonnés x et y. Sous un passage de base par une matrice P, la matrice associée devient A' = P^T A P. Le rang de B est égal au rang de la matrice A et, si B est non dégénérée, A est inversible.

Un bilinéaire est à l’origine d’une forme quadratique Q associée définie par Q(v) = B(v, v). Dans les domaines de caractéristique ≠ 2, Q peut être repéré à partir de B via la formule de polarisation: B(u, v) = (Q(u + v) − Q(u) − Q(v)) / 2. Cette relation permet de passer entre formes bilinéaires et formes quadratiques.

Exemples typiques: le produit scalaire standard sur R^n est une forme bilinéaire symétrique et positive définie; une forme bilinéaire alternée non dégénérée est donnée par la forme symplectique ω((x1, y1), (x2, y2)) = x1y2 − x2y1 sur R^{2n}.

Les formes bilinéaires jouent un rôle central en géométrie, en physique et en théorie des formes, et servent notamment à définir des métriques, des produits et des polarisations.