métriques

Métriques, au sens mathématique, désignent des fonctions qui mesurent la distance entre éléments d’un ensemble donné. Une métrique sur un ensemble X est une application d : X × X → R_+ qui vérifie quatre propriétés fondamentales: d(x,y) ≥ 0 pour tout x,y; d(x,y) = 0 si et seulement si x = y; d(x,y) = d(y,x) (symétrie); et d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) pour tous x,y,z ∈ X (inégalité triangulaire). Lorsqu’un ensemble est équipé d’une métrique, on parle d’espace métrique; la métrique génère une topologie via les boules ouvertes B(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r}.

Les métriques permettent de formaliser la notion de convergence, de continuité et de compacité dans des contextes généraux. Des propriétés additionnelles, comme la complétude ou la compacité, dépendent de la métrique choisie et jouent un rôle central en analyse et en géométrie.

Exemples typiques: la métrique euclidienne sur R^n, d(x,y) = ||x − y||2; les métriques p-normes, d(x,y) = (Sum_i |xi − yi|^p)^(1/p) pour p ≥ 1; la métrique de Manhattan (p = 1) et la métrique Chebyshev (p = ∞). La métrique discrète définit d(x,y) = 0 si x = y et 1 sinon. On rencontre aussi des métriques ultramétriques, qui satisfont une inégalité triangulaire renforcée.

Relation avec les normes: toute norme sur un espace vectoriel génère une métrique via d(x,y) = ||x − y||. On distingue aussi les pseudométriques (d(x,y) = 0 peut occuper x ≠ y) et les quasi-métriques (non nécessairement symétriques).

Applications: analyse, géométrie, algorithmique, apprentissage automatique et clustering, où les métriques servent à comparer des objets, mesurer des similarités et guider les procédés d’optimisation et de classification. Un champ d’étude important est l’étude des propriétés spatiales indépendantes de la métrique choisie.