pseudométriques

Les pseudométriques désignent les distances d sur un ensemble X qui vérifient les propriétés usuelles d’une distance, à l’exception d’une condition clé: il peut exister des paires de points distinct x et y pour lesquelles d(x,y) = 0. Ainsi, une pseudométrie d(X×X) respecte la non-negativité, la symétrie et l’inégalité triangulaire, mais n’implique pas nécessairement que x = y lorsque d(x,y) = 0. L’espace (X, d) peut alors ne pas être séparé (non-hausdorff).

Les pseudométriques généralisent les métriques; si l’on déduit l’équivalence x ~ y lorsque d(x,y) = 0, et que l’on forme le quotient X/~, alors la distance induite par d sur les classes d’équivalence devient une métrique sur le quotient. En ce sens, les pseudométriques apparaissent naturellement lorsque l’on cherche à identifier des points que la distance relie en zéro.

Exemples et constructions typiques:

- À partir d’une relation d’équivalence ~ sur X, définir d(x,y) = 0 si x ~ y et d(x,y) = 1 sinon donne une pseudométrie. Elle identifie exactement les classes d’équivalence.

- À partir d’une semi-norme p sur un espace vectoriel E, d(x,y) = p(x−y) est une pseudométrie; si p est une norme, alors d’est une métrique. Les semi-normes et les familles de pseudo-métriques sont couramment utilisées pour décrire les topologies localement convexes.

Topologie et applications:

La topologie induite par une pseudométrie est donnée par les boules ouvertes B(x,r) = {y | d(x,y) < r}. Cette topologie peut ne pas être séparante; la théorie des quotients et les espaces métriques sur X/~ est une utilisation fréquente. Les pseudométriques sont omniprésents en analyse et en topologie, notamment via les semi-normes en espaces fonctionnels et les méthodes de convergence associées.