bestuurbaarheidsmodule

Bestuurbaarheidsmodule is een concept uit de algebraïsche systemenleer dat de verzameling van toestanden beschrijft die met behulp van invoer bereikt kunnen worden in een lineair tijdinvariant systeem. In de gebruikelijke formulering van een systeem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) met A in F^{n×n} en B in F^{n×m} over een veld F wordt V = F^n beschouwd als een F[x]-module. Hierbij fungeert x als de randeingang die Av oplevert en p(x) als polynoom acterend via p(A) op een toestandsvector.

De bestuurbaarheidsmodule M is de submodule van V die gegenereerd wordt door de invoerkolommen onder de F[x]-actie, oftewel M = F[x]·B = { p(A)B u | p ∈ F[x], u ∈ F^m }. Met andere woorden, M containert alle toestanden die kunnen worden bereikt vanaf nul door een geschikte invoerreeks, uitgedrukt in termen van de polynomiale invloedsactie van A.

Een systeem wordt bestuurbaar genoemd wanneer M gelijk is aan V. In de klassieke formulering correspondeert dit aan de contro lbaarheidssymbool [B AB … A^{n-1}B] die volledige kolomrank heeft (rank n). De equivalentie tussen M = V en deze matrixvoorwaarde geldt over velden en biedt een algebraïsche manier om bestuurbaarheid te beoordelen.

Toepassingen liggen in realiseerteorie en systeemtheorie, vooral waar men modulair- of ringtondersteuning gebruikt voor controle en ontwerp. De bestuurbaarheidsmodule verschaf t een abstract kader dat generaliseert naar meer algemene ringen en tot niet-commutatieve omgevingen, waar het concept van bereikbaarheid via polynomiale acties centraal blijft. Zie ook bestuurbaarheidsmatrix, bereikbaarheid, observatie en F[x]-module.