avledningsfunktioner

Avledningsfunktioner är funktioner som beskriver hur en given funktion förändras vid varje punkt. Den centrala idén är derivatan f'(x), som anger lutningen på tangenten till kurvan y = f(x) vid x. Om f är differentiell på ett intervall I är avledningen definierad genom gränsvärdet f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) − f(x))/h för varje x i I. Som beteckningar används även df/dx eller Df(x).

Exempel är vanliga: om f(x) = x^2 så är f'(x) = 2x; om f(x) = sin(x) så är f'(x) = cos(x). Avledningen beskriver hastigheten och riktningen för förändringen av f. Tecken och storlek berättar om funktionen ökar eller minskar i olika delar av domänen.

Egenskaper och begrepp i samband med avledningar inkluderar högre ordningens avledningar, där f''(x) är den andra avledningen, som ger information om konvexitet och punkter med förändrad acceleration. Avledningsregler används för att beräkna derivatorna snabbt: derivatan av en summa är summan av derivatorna, (fg)' = f' g + f g', produktregeln, och kedjeregeln för sammansatta funktioner, (f∘g)' = f'(g(x)) g'(x).

Användningsområden omfattar optimering (hitta maximum och minimum), rörelse och fysik (hastighet och acceleration), ekonomi och naturvetenskaplig modellering. Begränsningar är att differentiabilitet kräver en viss mjukhet i funktionen; en funktion kan vara differentiell på ett område medan dess avledningsfunktion f' kan vara diskontinuerlig. Avledningsfunktioner utgör ett grundläggande verktyg inom analys och tillämpad matematik.