avledningsfunktion

Avledningsfunktionen är den funktion som tilldelar varje punkt x den affärsderivatan f′(x) för en given funktion f, under förutsättning att f är differentiell vid x. Den beskriver den lokala förändringen av f och anger lutningen hos grafen till f i punkten x.

Notation och domän: Avledningsfunktionen betecknas ofta f′(x) eller df/dx. För funktioner med flera variabler hänvisar gradienten, ∇f, till avledningen i varje riktning. Avledningsfunktionen är definierad på den del av f:s domän där f är differentiell; om f är differentiell på ett intervall I så är f′ definierad för varje x i I.

Exempel: Om f(x) = x^2 så är avledningen f′(x) = 2x. För f(x) = sin x är f′(x) = cos x, och för f(x) = e^x är f′(x) = e^x.

Egenskaper och samband: Avledningsfunktionen ger den linjära approximatelyen av f vid varje punkt, vilket uttrycks i linjärsatsen f(x+h) ≈ f(x) + f′(x) h för små h. Även om f är differentiell kan f′ vara discontinu eller ojämn; f′ uppvisar Darboux-egenskapen, det vill säga mellanvärdesegenskapen, även om f′ inte är kontinuerlig. Om f är två gånger differentiell finns f′′, som beskriver hur f′ förändras.

Användningar: Avledningsfunktionen används för att mäta hastighet och förändringstakt, för att bestämma tangentens lutning och linjärisering, samt i optimerings- och Newton-metoder där kritiska punkter uppstår där f′ = 0. Den utgör också grundstenen i många tillämpningar inom fysik, ekonomi och teknik.