avhoppandediscontinuitet

Avhoppande discontinuitet, ofta kallad hoppdiskontinuitet, är en typ av diskontinuitet i en funktion där ett plötsligt hopp uppstår vid en viss punkt. Låt f vara en funktion definierad i ett öppet omgivning kring c. Om vänstergränsen lim x→c− f(x) = L och högergränsen lim x→c+ f(x) = R existerar som reella tal och L ≠ R, så har f en avhoppande discontinuitet vid c. Värdet f(c) kan vara ett annat tal eller odefinierat; skrives det, innebär det inte att diskontinuiteten försvinner.

Exempel: Heaviside-funktionen H(x) = 0 för x < 0 och 1 för x > 0 har vänstergräns 0 och högergräns 1 vid c = 0, vilket ger en hoppdiscontinuitet vid 0. Golv-funktionen ⌊x⌋ har diskontinuiteter vid varje heltal n, med vänstergränsen n−1 och högergränsen n.

Klassificering: En avhoppande discontinuitet är en diskontinuitet av första sort eftersom båda sidogränserna existerar som reella tal men är olika. Om en eller båda sidogränserna saknas eller är oändliga tal, betecknas det ofta som diskontinuitet av andra sorten eller oändlig.

Betydelse: Sådana diskontinuiteter påverkar analytiska egenskaper som kontinuitet och integrerbarhet. För många praktiska ändamål behandlas funktioner med ett ändligt antal hopp som Riemann-integrerbara på slutna intervall, även om de inte är kontinuerliga överallt.

Detta ger en grundläggande förståelse av avhoppande discontinuitet och hur den uppträder i vanliga funktioner.