Heavisidefunktionen

Die Heavisidefunktion, auch Unitstufenfunktion genannt, ist eine Stufenfunktion, die den Wert 0 für negative Argumente und 1 für positive Argumente annimmt. Formal definiert man H(t) als H(t) = 0 für t < 0 und H(t) = 1 für t > 0. An der Stelle t = 0 sind die Konventionen unterschiedlich: Oft wird H(0) als 0, 1 oder 1/2 festgelegt oder der Wert wird undefiniert belassen. In vielen Anwendungen genügt die Unterscheidung t < 0 bzw. t > 0.

Eigenschaften: Die Funktion ist monoton nicht abnehmend, rechtsstetig und besitzt einen Sprung der Größe 1 an t = 0. In der Distributionstheorie ist die Ableitung von H gleich der Dirac-Delta-Funktion, dH/dt = δ(t). Die Stammfunktion von δ liefert wiederum H.

Verwendung und Transformen: Die Heavisidefunktion modelliert plötzliche Anregungen in Systemen und wird in der Signalverarbeitung, Regelungstechnik sowie bei der Lösung linearer Differentialgleichungen verwendet. Für verschobene Funktionen gilt H(t − a) (a ≥ 0). In der Laplace-Transformation gilt L{H(t − a)} = e^{−as}/s; im Frequenzbereich ergeben sich distributionstheoretisch weitere Beziehungen, etwa in Zusammenhang mit dem Signum.

Notation: Neben H(t) werden auch u(t) oder θ(t) als Bezeichnungen verwendet. Die Heavisidefunktion dient damit als mathematisches Modell für plötzliche Einschalt- oder Ausschaltvorgänge in zeitabhängigen Prozessen.