autocovariantie

Autocovariantie is een maat uit de tijdreeksanalyse die de covariantie meet tussen een stochastisch proces X_t en zijn versie met een tijdvertraging h, X_{t+h}. Voor een proces wordt deze covariantie gedefinieerd als gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h}). Bij zwak stationaire processen is gamma afhankelijk van de lag h maar niet van de tij .

Autocovariantie heeft een paar kern-eigenschappen: gamma(-h) = gamma(h) en gamma(0) is de variantie van X_t. De autokovariantie vormt samen met de autokorrelatiefunctie gamma(h)/gamma(0) een manier om de afhankelijkheid op verschillende tijdsafstanden te beschrijven. In het geval van wit lawaai zijn alle gamma(h) gelijk aan nul voor h ≠ 0.

Schatting van de autocovariantie gebeurt meestal uit een waarnemingsreeks X_1, ..., X_n met een schatting van het gemiddelde X̄. De geschatte autocovariantie bij lag h is ĝ(h) = (1/(n−h)) som_{t=1}^{n−h} (X_t − X̄)(X_{t+h} − X̄). Voor h = 0 geeft ĝ(0) meestal de steekvariantie, met de gebruikelijke keuze van deling door n of n−1.

Toepassingen en verbanden: gamma(h) is fundamenteel bij de karakterisering van tijdreeksen en clubt met modellering zoals ARMA. De autokovariantie levert samen met gamma(h) de autocorrelatiefunctie en via de Fourier-transform de spectrale dichtheid van het proces. Een plotselinge snel afnemende gamma(h) wijst op korte- tot middelardige afhankelijkheid, terwijl een langzame afname duidt op langer durende afhankelijkheid.