arklängdsparametrisering

Arklängdsparametrisering är en parametrisering av en kurva i rum eller målrummet så att hastigheten längs kurvan är enhetlig. Om γ: I → R^n är en regulär kurva (γ'(t) ≠ 0 för alla t i I) kan man definiera arklängden s(t) som s(t) = ∫_{t0}^t ||γ'(u)|| du. Funktionen s är strictly increasing om hastigheten WHO är positiv, och den har en invers t(s) på intervallet som motsvarar bildområdet. Den arklängdsparametriserade kurvan γ̃(s) definieras sedan som γ̃(s) = γ(t(s)) och har hastigheten ||dγ̃/ds|| = 1, dvs. γ̃'(s) är en enhetsvektor.

Egenskaper och användning: För arklängdsparametrisering är kurvans längd mellan två parametrar lika med skillnaden i arklängden s; längden på segmentet γ([a,b]) är s(b) − s(a). Om γ är regelbunden finns en arklängdsparametrisering på varje delintervall där hastigheten inte försvinner och den är unik upp till orientation. Vid arklängdsparametrisering kan man definiera enhetstangentvektorn T(s) = γ̃'(s) och kurvaturen κ(s) via κ(s) = ||γ̃''(s)|| i rum av dimension ≥ 2, med Frenet-Serret-formlerna som följer i lämpliga sammanhang.

Exempel: En rät linje γ(t) = a + vt har hastighet ||v||; arklängdsparametrisering är γ̃(s) = a + (s/||v||) v. Enhetscirkelns arklängdsparametrisering gör vektorn av enhetshastighet runt cirkeln.

Generellt används arklängdsparametrisering för att förenkla beräkningar av kurvatur, båglängd och andra geometriska storheter, samt i numeriska metoder där enhetlig hastighet förenklar lösningar. Vid avsaknad av reguläritet kan parametrisering delas upp i delar där hastigheten är positiv. För generaliserade rum används samma idé med en Riemannian metric.