arithmétiques

L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les nombres et les opérations élémentaires qui leur permettent d’être combinés: addition, soustraction, multiplication et division. Elle concerne également les propriétés fondamentales de ces opérations et les algorithmes qui les mettent en œuvre sur des nombres réels, entiers et rationnels, ainsi que leurs applications pratiques et pédagogiques.

Les notions centrales incluent le système de nombres (entiers, nombres rationnels, réels, parfois complexes), les règles de calcul, les identités et les propriétés (associativité, commutativité et distributivité), ainsi que les notions d’ordre et d’inverses (zéro comme identité additive, unité multiplicative, inverse additive et inverse multiplicatif).

Du point de vue historique, l’arithmétique remonte à l’Antiquité: les civilisations mésopotamienne et égyptienne utilisaient des systèmes de numération et des méthodes de calcul; le système décimal positionnel est apparu en Inde et fut transmis via les Arabes en Europe, ouvrant la voie à des algorithmes modernes. Les Grecs et les Arabes ont aussi contribué à la formalisation et à la théorie des nombres; au 17e et 18e siècles, l’arithmétique s’adosse à l’algèbre et à la théorie des nombres.

À l’ère moderne, l’arithmétique est formalisée par des axiomes, notamment les axiomes de Peano pour les nombres naturels et les notions de divisibilité et d’algorithmes tels que l’algorithme d’Euclide pour le PGCD et les méthodes de division et de multiplication. La numération positionnelle, en base dix, permet de représenter des nombres de façon efficace et d’appliquer des algorithmes récursifs et itératifs.

L’arithmétique sert d’assise à d’autres domaines des mathématiques et à leurs applications pratiques: calculs quotidiens, ingénierie, sciences, informatique et cryptographie (notamment via l’arithmétique modulaire).