commutativité

La commutatività è una proprietà di un'operazione binaria in un insieme: l'operazione è commutativa se vale a · b = b · a per ogni coppia di elementi a e b dell'insieme.

Esempi classici si hanno in aritmetica: la somma e il prodotto dei numeri reali sono commutativi, poiché a + b = b + a e a · b = b · a per ogni reale a e b. Altre operazioni comuni, come la sottrazione o la divisione, non sono commutative: ad esempio 5 - 3 ≠ 3 - 5. Anche la composizione di funzioni non è in generale commutativa: f ∘ g non è necessariamente uguale a g ∘ f.

Nel contesto dell'algebra, se l'operazione è associativa e commutativa si parla di gruppo abeliano; se l'operazione è commutativa su un intero insieme che soddisfa le regole di un anello o di un campo, si ottengono strutture come i numeri reali o i complessi. I gruppi abeliani sono fondamentali in molte aree della matematica e sono esempi di strutture in cui la semplicità di calcolo è garantita dalla commutatività.

Non tutte le strutture hanno la commutatività: la moltiplicazione di matrici è non commutativa in generale (AB può differire da BA), e i quaternioni formano un'algebra non commutativa. È anche possibile avere commutatività solo su particolari sottoinsiemi o per certe operazioni, cioè una forma di commutatività parziale.