distributivité

La distributività è una proprietà operativa fondamentale in matematica che riguarda l’interazione tra due operazioni binarie, tipicamente indicata come la distribuzione di una operazione su un’altra. Nel senso più comune si dice che la moltiplicazione distribuisce sull’addizione: per elementi a, b e c si ha la relazione a·(b+c) = a·b + a·c. In modo equivalente vale anche (a+b)·c = a·c + b·c. Si parla quindi di distributività sinistra (o destra) a seconda di quale operazione distribuisce sull’altra.

Forma e contesto. La proprietà è centrale nelle strutture algebriche come anelli e algebre: qui la moltiplicazione è distributiva sull’addizione sia a livello sinistro che destro. In contesti più generali, una funzione o un’operazione che distribuisce è spesso chiamata op. distributiva rispetto all’altra. Inoltre, la moltiplicazione è distributiva sull’addizione anche in sistemi in cui una terza operazione agisce come prodotto cartesiano, ad esempio la moltiplicazione di matrici: A·(B+C) = A·B + A·C e (A+B)·C = A·C + B·C.

Esempi comuni: nei numeri interi, reali o complessi la legge si verifica: 3·(4+5) = 3·4 + 3·5 = 27. Nei polinomi si ottiene l’espansione: (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2. Per le strutture vettoriali, la moltiplicazione scalare distribuisce sull’addizione dei vettori: r(u+v) = ru + rv.

Distributività non è universale: esistono strutture non distributive (ad es. alcuni lattice nondistributivi). La proprietà è però comune in grandi classi, tra cui anelli, campi, moduli e spazi vettoriali.