antiderivadas

En matemáticas, una antiderivada (o primitiva) de una función f es otra función F tal que F'(x) = f(x) para todas las x en el dominio de f. Si existe, F es una antiderivada de f; en general, la antiderivada no es única.

La antiderivada se denota con ∫ f(x) dx. El resultado general es F(x) + C, donde C es una constante de integración.

Relación con derivadas y el teorema fundamental del cálculo: si f es continua en un intervalo, entonces F(x) = ∫_a^x f(t) dt es una antiderivada de f y ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Métodos y consideraciones: para hallar antiderivadas se usan reglas básicas, sustitución, integración por partes y, en algunos casos, fracciones parciales. No todas las funciones tienen antiderivada expresable en términos de funciones elementales (por ejemplo, ∫ e^{-x^2} dx no tiene antiderivada elemental).

Ejemplos: ∫ 2x dx = x^2 + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ e^x dx = e^x + C.

Aplicaciones: las antiderivadas permiten calcular áreas por medio de integrales definidas y modelar cantidades acumuladas, como la posición a partir de la velocidad o el consumo acumulado en economía.