alusfunktsioonide

Alusfunktsioonide ehk basisfunktsioonide mõiste viitab matemaatikas funktsioonide kogumile, mida kasutatakse teiste funktsioonide esitlemiseks või ligikaudseks kirjeldamiseks antud funktsiooniruumis. Kui funktsiooniruum F saab iga funktsiooni f väljendada kui lõplik (finite-dimensional) või lõplikult konvergeeruv (infinite-dimensional) kombinatsioonide kaudu alusfunktsioonidest, nimetatakse neid funktsioone alusfunktsioonideks ja kogu kogumit alusfunktsioonideks.

Finite- ja infinite dimensional: finite-dimensional ruumides on olemas täielik alus, mille alusel iga funktsioon esitatakse unikaalselt lõpliku lineaarse kombinatsioonina. Infinite-dimensional ruumides kasutatakse sageli täielikke või valmisalseid süsteeme, mis võimaldavad esitada funktsioonid piiramatu arvul liidetena, näiteks konvergeerivad sarjad või Schauder–basised süsteemid.

Ortogonaalsus ja ortonormaalne baas: kui ruumi on varustatud inner productiga, võivad alusfunktsioonid olla paaritult eriisitsed (ortogonaalsed) või ortonormaalsed. Ortogonaalsed alusfunktsioonid lihtsustavad koefitsientide arvutamist ning funktsioonide lagundamist, sest koefitsendid saadi kuldi projektsioonidest.

Näited: polünoomide ruumides kasutatakse alusfunktsioone 1, x, x^2, …; Fourier'ide teklassikus L2 ruumi jaoks moodustavad alusfunktsioonid trigonoomid ja konstant 1; radiaalsed alusfunktsioonid (radial basis functions) sobivad parandus- ja interpoleerimisülesannetele.

Kasutusvaldkonnad: alusfunktsioonide kogusid kasutatakse diferentsiaalvõrrandite spektraalse lahenduse leidmiseks, funktsioonide esitusviiside loomulikes ridade- või vahemärgiga võrrandites ning masinõppes funktsioonide omaduste kirjeldamiseks ja andmete modelleerimiseks.

Seosed: alusfunktsioonid on seotud mõistetega baas, lineaarne sõltuvus, ruumi dimension ja täitmine ning neid käsitletakse nii finite- kui ka infinite-dimensional kontekstides.