alusfunktsioonid

Alusfunktsioonid on kogum funktsioone, mida kasutatakse funktsioonruumi struktuuri kirjeldamiseks. Kui V on funktsioonide ruum ja {φ_i} on selle ruumi liikmete kogum, öeldakse, et {φ_i} on alus, kui iga f ∈ V saab esitada f = ∑_{i∈I} c_i φ_i ning esitus on unikaalne. I võib olla lõplik või loenduv.

Lõpliku dimensiooniga ruumis on alus tavaliselt lõpliku suurusega. Lõpmatu dimensiooniga ruumides võib alus olla lõpmatu ning esitus võib toimuda lõpmatu järjena, mida kirjeldatakse konvergeeruvusena (nt Schauder alus: f = lim_{N→∞} ∑_{i=1}^N c_i φ_i).

Ortooniliste või ortonormeeritud alusfunktsioonide korral on koefitsientide arvutamine lihtsam: kui {φ_i} on ortonormeeritud, on koefitsientide arvutamine c_i = ⟨f, φ_i⟩, kus ⟨.,⟩ tähistab sobivat inner product.

Näited: polünoomide alus {1, x, x^2, …} polüomruumis; Legendre'i polünoomid L_n(x) L^2([-1,1]); Fourier'i alus sinusoids perioodiliste funktsioonide jaoks; wavelet’ide alused, mis on lokaalsed.

Rakendused hõlmavad funktsioonide ligikaudustamist, spektrimeetodeid ja muid numbrilisi analüüse, signaalitöötlust ning erinevate diffeentsiaalarvutuste lahendusi.

Kokkuvõttes annavad alusfunktsioonid funktsioonruumidele struktureeritud viisi teiste funktsioonide esitlemiseks ja analüüsimiseks ning need on keskne mõiste nii teoreetilises kui rakenduslikus matemaatikas.