Ortogonaalsed

Ortogonaalsed on mõiste, mis viitab sellele, et kaks või enama objekti omadused on teineteisele risti või sõltumatud. Matemaatikas kirjeldatakse ortogonaalsust peamiselt sisemise korrutise kaudu. Kaks vektorit v ja w on ortogonaalsed, kui nende skalaarkorrutis on null: v · w = 0.

Vektorruumis tähistab ortogonaalsus, et iga paari vektorist on nende skalaarkorrutis null. Kui kogu kogum on paariti ortogonaalne ja igal vektoril on pikkus 1, moodustavad need vektorid ortonormaalse aluse, mis lihtsustab ruumi omaduste ja arvutuste tööd.

Ortogonaalsed maatriksid on ruutmaatriksid Q, mille puhul kehtib Q^T Q = I. Sellised maatriksid säilitavad pikkused ja nurgad ning nende pöördmatrix on transpoositsioon. Maatriksi veergudest moodustub ortonormaalne alus; vastupidiselt peab Q^T Q = I ka tähendama, et ruumi ruudulised veerud on paariti ortogonaalsed ja pikkusega üks.

Funktsioonide ruumis kehtib sarnane mõiste: kahe funktsiooni f ja g puhul on nende vahemikul X ∫ f(x) g(x) dx = 0, kui need on ortogonaalsed. Selline struktuur võimaldab kasutada ortogonaalseid baase, nagu Fourier’ seeriad ja Legendre polünoomid.

Gram–Schmidt-protsess teisendab mis tahes lineaarse sõltumatu vektorite kogumi ortogonaalseks (või ortonormaalseks) aluseks, säilitades ruumi alusparameetrid.

Rakendused: Ortogonaalsus on oluline signaalitöötlemises, statistikas ja füüsikas. Näideteks on Fourier’i seeria ja diskreetne Fourier’i teisend, mille alus on ortogonaalsed baasid, mis võimaldavad efektiivset analüüsi ja filtratsiooni.