ortonormaalne

Ortonormaalne komplekt vektoreid on vektorite kogum, mille puhul iga vektor on pikkusega 1 ja mille erinevad vektorid on omavahel ortogonaalsed. Formaliseeritult: kui {v1, ..., vk} on selline kogum ruumis V ning <vi, vj> = 0 i ≠ j ja <vi, vi> = 1 kõigi i jaoks, siis öeldakse, et {v1, ..., vk} on ortonormaalne komplekt.

Kui nende vektorite span katab kogu ruumi V, nimetatakse seda komplekti ortonormaalseks aluseks (ortonormaalseks bauseks) ruumis V. Ortornormalseid aluseid kasutatakse tihti nii reaalsete kui ka kompleksruumide puhul, näiteks R^n või C^n, kus sisemine korrutis on standardne.

Gram–Schmidt protsess võimaldab võtta mis tahes lineaarset kogumit vektorist ja muundada sellest ortonormaalse aluse. See meetod on kasulik nii teoreetiliste tõendite kui ka arvutuste jaoks, kui on vaja lihtsat baasi lineaaralgebra rakenduste jaoks.

Olles koostanud ortonormaalse aluse, muutub ruumi esitus ja vektorite koordinaadid lihtsaks: iga vektor x ruumis V võib kirjutada kui x = sum_i <x, vi> vi, ning koordinaadid vastavad inner-productide väärtustele <x, vi>. Samuti lihtsustuvad ruumi lineaarsete transformatsioonide esitused ja ruumi projektsioonid.

Näide: standardne alus R^n koos vektoritega e1, ..., en on ortonormaalne alus. Ortogonaalsus ja normi üksuslikkus on põhivõtted, mis juhivad paljusid arvutuslikke ja teoreetilisi tulemusi lineaaralgebras.