affinemuunnos

Affinemuunnos on matemaattinen kartta, joka säilyttää suorat viivat ja parallelisuuden. Se voidaan esittää muodossa f(x) = Ax + b, jossa A on neliömatriisi ja b vektori. 2D-tapauksessa pisteet x = (x, y) karttuvat muotoon x' = (x', y') = (a x + b y + e, c x + d y + f).

Matematiikassa affiini muunnos voidaan kirjoittaa lyhyesti matriisimuodossa [x' y']^T = [a b; c d] [x y]^T + [e f]^T. Lisäksi käytetään usein homogeenisia koordinaatteja: [x' y' 1]^T = [a b e; c d f; 0 0 1] [x y 1]^T, jolloin muunnoksen voit esittää yhdellä 3x3- tai 4x4-matriisilla.

Ominaisuudet: Affinimuunnokset kartoittavat suorat viivat toisiin suoriin viivoihin ja säilyttävät parallelisuuden. Ne säilyttävät kollineaarisuuden sekä koordinaattien affiiniset suhteet siten, että jos piste B on kahden muun pisteen A ja C affiinisessä yhdistelmä B = (1−t)A + tC, niin B' on A' ja C' samankaltaisessa yhdistelmässä B' = (1−t)A' + tC'. Etäisyydet ja kulmat eivät yleensä säily, paitsi erityistapauksissa kuten rotaatio, uniform skaalaus, peilaus tai näiden yhdistelmät.

Voima ja käyttö: Affine-muunnoksilla on kuusi vapausastetta 2D-tilassa (kolmen animaation osan lisäksi). Ne ovat kääntyviä, kun lineaarinen osa A on kääntyvä (det(A) ≠ 0). Käytössä ovat esimerkiksi tietokonegrafiikka, kuvankäsittely, GIS, rekonstruktio ja arkkitehtuurin piirustukset, joissa kuvat tai koordinaatit pitää muuntaa toiseen koordinaatistoon säilyttäen suhteelliset sijainnit. Affine-muunnokset eroavat laajemmin projec tiivisista muunnoksista, jotka voivat muuttaa parallellisuuden.