Zufallsfolgen

Zufallsfolgen bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine unendliche Folge von Zufallsvariablen oder deren Ausgänge, die unter einem Wahrscheinlichkeitsmodell betrachtet wird. Oft wird eine Zufallsfolge als Folge von Ausgängen einer wiederholten Zufallsversuchsreihe verstanden, z. B. eine Folge fairer Münzwürfe, bei dem jedes Glied der Folge entweder 0 oder 1 annimmt. Formal kann man eine Zufallsfolge als eine Stichprobe aus einem stochastischen Prozess betrachten, bei dem X1, X2, ... Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum Ω mit Wahrscheinlichkeitsverteilung vorgesehen sind. Die Folge der Realisationen (x1, x2, ...) heißt Pfad oder Stichprobe.

Eine häufige Spezialform sind i.i.d.-Folgen, bei denen die Xi unabhängig und identisch verteilt sind. Beispiele sind unendliche Folgen fairer Münzwürfe (Binomialverteilung, p = 1/2) oder unendliche Folgen von Würfen eines fairen Würfels. In vielen Modellen genügt die Annahme von Unabhängigkeit und Gleichverteilung, um Gesetze wie das Gesetz der großen Zahlen oder den zentralen Grenzwertsatz abzuleiten.

Weitere Konzepte betreffen die Struktur der Folge: Borel-Normalität (eine Folge ist normal, wenn alle endlichen Muster gleich häufig auftreten), statistische Tests auf Zufälligkeit oder die Idee der algorithmischen Randomness (Martin-Löf-Randomness) bzw. die Kolmogorov-Komplexität.

Zufallsfolgen finden Anwendung in der Statistik, Simulation, Kryptographie und Modellierung von Naturprozessen. Sie dienen als theoretische Grundbausteine zur Beschreibung von Zufälligkeit und zur Analyse von Stabilität, Zeitreihen und stochastischen Prozessen.