Zentralanziehung

Zentralanziehung bezeichnet eine Anziehungskraft, die von einem festen Mittelpunkt ausgeht und deren Richtung stets entlang der Geraden zum Mittelpunkt gerichtet ist. Sie gehört zu den zentralen Kräften, deren Stärke nur von der Entfernung r zum Mittelpunkt abhängt. Bei einer Anziehung weist F(r) in Richtung des Zentrums.

Mathematisch lässt sich eine Zentralanziehung durch F(r) = f(r) r̂ beschreiben, wobei r̂ der Einheitsvektor in Richtung vom Zentrum zum betrachteten Körper ist. Häufig verwendet man die zugehörige zentrale Potentialfunktion V(r) mit F(r) = - dV/dr. Die Bewegung hat in der Folge eine Bahn, die in einer Ebene liegt; der Drehimpuls L ist konstant, und die Energie erfüllt die Radialgleichung (1/2) m (dr/dt)^2 + L^2/(2 m r^2) + V(r) = E. Durch die effektive Potenzialfunktion Veff(r) = L^2/(2 m r^2) + V(r) lässt sich die Radialbewegung analysieren.

Beispiele sind die Gravitation zwischen Punktmassen: F = - G m1 m2 / r^2, und das Coulomb-Feld in der Elektrostatik: F = (1/(4 π ε0)) q1 q2 / r^2. Diese Kräfte sind inverse Quadratgesetze und führen zu Keplerbahnen (Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) im Fall eines anziehenden Zentrums. Nach dem Bertrand-Theorem führen nur zwei zentrale Kraftgesetze zu allen schließenden Bahnen: das inverse-quadratische Gesetz (Gravitation bzw. Coulomb) und das harmonische Oszillatoren-Gesetz (F ∝ - r, V ∝ r^2). In der Praxis gelten Abweichungen durch verteilte Massen, relativistische Effekte oder zusätzliche Störkräfte.