Zahlenfelder

Zahlenfelder (engl. number fields) bezeichnen in der algebraischen Zahltheorie endliche Körpererweiterungen von den rationalen Zahlen Q. Sei K ein Zahlenfeld mit dem Grad n = [K : Q]. Die Einbettungen von K nach C teilen sich in r1 reale Einbettungen und r2 paarweise komplexe Einbettungen auf, so dass n = r1 + 2 r2. Beispiele sind das Grundfeld Q, quadratische Felder wie Q(√d) mit quadratsförmigem d sowie cyclotomische Felder.

Der Ring der ganzen Zahlen O_K eines Zahlenfelds besteht aus den Elementen, die in K ganzzahlig sind. O_K ist eine Integraldomäne und ein Dedekind-Ring, wodurch sich jedes Ideal eindeutig in Primideale faktorisieren lässt. Der Diskriminant Δ_K enthält wichtige arithmetische Informationen über K. Die Faktorisierung von Primzahlen in O_K unterscheidet sich stark von der rationalen Faktorisierung und führt zu Klassenfeldern, Klassennummern und Idealklassen.

Die Struktur von O_K^×, der Gruppe der Einheiten, wird durch den Dirichletschen Einheitensatz beschrieben: O_K^× ist isomorph zu μ(K) × Z^{r1 + r2 − 1}, wobei μ(K) die Wurzeln der Einheit im Feld sind. Die Größenordnung der Idealstruktur wird durch die Klassengruppe beschrieben; die Klassennummer h_K misst, wie weit O_K von der Hauptideal-Eigenschaft entfernt ist. Das Minkowski-Theorem liefert Abschätzungen, die zeigen, dass nur endlich viele Klassenfelder existieren.

Zahlenfelder spielen eine zentrale Rolle in der algebraischen Zahlentheorie und finden Anwendungen in Bereichen wie Diophantine Gleichungen, Galois-Theorie und der Struktur von Erweiterungen von Q.