Wärmeleitungsgleichungen

Wärmeleitungsgleichungen beschreiben die zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur in Medien, die durch Wärmestrom infolge von Temperaturunterschieden beeinflusst wird. Sie beruhen auf dem Energieerhaltungssatz und dem Fourier'schen Gesetz.

Die allgemeine Form der transienten Wärmeleitungsgleichung lautet: ρ c ∂T/∂t = ∇·(k ∇T) + q̇. Hierbei ist ρ die Dichte, c die spezifische Wärmekapazität, k die Wärmeleitfähigkeit (bei anisotroper, richtungsabhängiger Wärmeleitung kann k als Tensor auftreten) und q̇ eine volumetrische Wärmequelle. Falls k konstant und isotrop ist, vereinfacht sich die Gleichung zu ∂T/∂t = α ∇^2 T + q̇/(ρ c), wobei α = k/(ρ c) die thermische Diffusität ist.

Im eindimensionalen Fall, z. B. entlang eines Stabs mit der Temperatur T(x,t), lautet die Gleichung: ∂T/∂t = α ∂^2 T/∂x^2 + q̇/(ρ c). Typische Randbedingungen sind Dirichlet-Bedingungen (T festgelegt), Neumann-Bedingungen (festgelegter Wärmestrom) und Robin-Bedingungen (konvektiver Austausch). Anfangsbedingung: T(x,0) = T0(x).

Im stationären Zustand verschwindet die zeitliche Ableitung, und man erhält ∇·(k ∇T) + q̇ = 0. Lösungen liegen oft analytisch für einfache Geometrien vor; für komplexe Geometrien kommen numerische Verfahren wie Finite-Differenzen, Finite-Elemente oder Finite-Volumen zum Einsatz.

Anwendungen finden sich in der Auslegung von Wärmeübertragung in Bauteilen, Elektronik-Kühlung, Gebäudephysik und Materialforschung. Variationen umfassen anisotrope Leitfähigkeit, Temperaturabhängigkeit von k und nichtlineare Materialeigenschaften.

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