Wavelettransformen

Wavelet-Transformen sind mathematische Verfahren zur Zerlegung von Signalen in Bausteine unterschiedlicher Auflösung, die sowohl zeitliche als auch frequenzielle Informationen liefern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation, die Signale in unbestimmt lange Sinuskomponenten zerlegt, verwenden Wavelets kurze Wellenformen mit lokalisiertem Zeitverlauf, wodurch Strukturen zeitlich begrenzt und frequenzabhängig sichtbar werden.

Es gibt zwei Hauptformen: der Kontinuierliche Wavelet-Transform (CWT) und der Diskrete Wavelet-Transform (DWT). Der CWT verwendet eine Mutter-Welle, die skaliert und verschoben wird, um eine Zeit–Skala-Darstellung des Signals zu erzeugen. Der DWT arbeitet mit diskreten Skalen und Verschiebungen (häufig dyadisch) und lässt sich effizient über Filterbänke und den Mallat-Algorithmus implementieren. DWT liefert kompakte Repräsentationen und ist gut geeignet für Denoising, Konversion und Kompression.

Kernkonzepte sind Multiresolutionsanalyse, die den Inhalt des Signals schichtweise auflöst, und die Wahl der Mutter-Welle. Beliebte Beispiele sind Haar-, Daubechies-, Coiflet- und Morlet-Wellen. Eigenschaften wie Orthogonalität oder Überschneidungen zwischen Abtaststufen beeinflussen Eignung und Rechenaufwand.

Anwendungen finden sich in der Signal- und Bildverarbeitung, Denoising, Audiosignalverarbeitung, Bildkompression (JPEG 2000), Geophysik sowie medizinischer Signalanalyse (EEG, EKG). Grenzen ergeben sich aus Randproblemen bei der Diskretisierung, der Wahl der Welle und der Redundanz im CWT. Wavelet-Transformen bieten eine flexible Zeit-Frequenz-Darstellung gegenüber der Fourier-Transformation und ermöglichen je nach Bedarf fein- oder grobauflösende Analysen.