WKBApproximationen

WKB-Approximationen, benannt nach Wentzel, Kramers und Brillouin, sind semiklassische Verfahren zur Lösung der Schrödinger-Gleichung in der Grenzregion ħ→0 bzw. bei großen klassischen Aktionen. Sie liefern asymptotische Lösungen in Bereichen, in denen das Potential V(x) langsam variiert und die lokale Wellenzahl p(x)=√(2m(E−V(x))) sinnvoll ist. Die Methode lässt sich auf eine Reihe von Dimensionen übertragen und findet breite Anwendung in der Quantenmechanik, Chemie und Kernphysik.

Der grundlegende Ansatz besteht darin, die Wellenfunktion als ψ(x) ≈ exp(i S(x)/ħ) zu schreiben und S als Serie in ħ zu expandieren: S=S0+ħS1+…. Der führende Term S0 erfüllt die Hamilton–Jacobi-Gleichung, sodass p(x)=S0′(x). Aus dem nächsten Term lassen sich die Amplitudenbehandlungen ableiten. Am wichtigsten ist die klassische Form ψ(x) ≈ C p(x)^{-1/2} exp(± i ∫^x p(x′) dx′ / ħ) im klassisch erlaubten Bereich (E > V). Im verbotenen Bereich (E < V) wird p(x) rein imaginär und die Lösung wird exponentiell abklingend.

Turning points, an denen E=V(x), markieren den Grenzbereich, in dem die einfache WKB-Formulierung versagt. Dort benötigt man Verbindungsformeln oder uniforme Approximationen (z. B. über Airy-Funktionen). Für gebundene Zustände führt die Bohr-Sommerfeld-Bedingung ∮ p dx = 2πħ(n+α) zur Energien quantisierung, wobei α den Maslov-Index der Turnpunkte berücksichtigt.

Erweiterungen umfassen die mehrdimensionale WKB-Methodik (Eikonalgleichung, Pfad- bzw. Trajektorienansatz) und Anwendungen in Tunneling, Streuung und Molekülvibrationen. Neben ihrer Nützlichkeit ist die Methode außerhalb des semiclassical- Geltungsbereichs eingeschränkt, insbesondere nahe Wendepunkten oder bei stark variierenden Potentialen.