Viskoslösningen

Viskoslösningen är en typ av lösning till vissa icke-linjära partiella differentialekvationer där klassiska lösningar ofta saknas eller är svåra att få fram. Begreppet utvecklades under 1980-talet av Crandall, Ishii och Lions och har blivit en central metod inom theory of nonlinear PDEs. En viskoslösning är designad för att hantera PDEer som inte är differentiella nog för att ha en traditionell lösning, till exempel Hamilton–Jacobi- eller fullt icke‑linjära elliptiska och paraboliska PDEer.

Definitionen bygger på användning av testfunktioner som berör den hypotetiska lösningen från ovan respektive från nedan. En kontinuerlig funktion u är en viskoslösning av F(x,u,Du,D^2u)=0 om den är

- sublösning: för varje punkt där en glatt φ berör u från ovan (dvs u−φ har lokal maxpunkt), uppfylls F(x0,u(x0),Dφ(x0),D^2φ(x0)) ≤ 0;

- supersolution: för varje punkt där φ berör u från nedan (dvs u−φ har lokal minpunkt), uppfylls F(x0,u(x0),Dφ(x0),D^2φ(x0)) ≥ 0.

En funktion som är både sub- och supersolution kallas viskoslösning. Antaganden om F inkluderar vanligtvis att F är kontinuerlig och degenerate elliptisk (monoton i D^2u), vilket möjliggör jämförelseprincipen och unikhet under rimliga villkor.

Viktigaste egenskaperna är stabilitet under uniform konvergens och möjligheten till existence via Perron‑metoden eller vanishing viscosity‑metoden (genom att lägga till en liten diffusionskomponent och låta den gå mot noll). Användningsområden inkluderar Hamilton–Jacobi‑betingade ekvationer, frontutbredning (level set‑metoden), optimal kontroll och vissa ekonomiska modeller.

Se även: Hamilton–Jacobi‑ekvationer, nivåset-metoden, Perrons metod, vanishing viscosity.