Verschiebungsinvarianten

Verschiebungsinvarianten, auch Translationalinvarianz genannt, beschreiben Eigenschaften oder Größen, die unverändert bleiben, wenn alle relevanten Objekte durch dieselbe Verschiebung im Raum oder in der Zeit transformiert werden. Typisch geht es um Invarianz unter der Aktion der Gruppe der Translationen.

Mathematisch formuliert bedeutet Translationalinvarianz: Sei F eine Funktion oder ein Maß, definiert auf einem Raum X, und sei G die Gruppe der Verschiebungen. Dann gilt F(g.x) = F(x) für alle g in G und alle x in X. Ein praktisches Beispiel sind Abstände: Die Distanz zwischen zwei Punkten p und q erfüllt dist(p + t, q + t) = dist(p, q) für jeden Verschiebungsvektor t. Ebenso bleibt bei einer zeitlichen Verschiebung die Magnitude der Fouriertransformierten eines Signals unverändert, da F{f(t - t0)}(ω) = e^{-iω t0} F(ω) und der Betrag von F(ω) konstant bleibt.

In der Physik spielt Translationalinvarianz eine zentrale Rolle: Die physikalischen Gesetze bleiben unter räumlichen Verschiebungen unverändert, was durch den Symmetriebegriff und Noethers Theorem zu Erhaltungsgrößen wie dem Impuls führt. In der Bild- und Signalanalyse wird Translationalinvarianz oft angestrebt oder genutzt, etwa durch Faltung (Convolution) in neuronalen Netzen oder Mustererkennung, um Merkmale zu finden, die unabhängig von der Lage im Bild oder Signal auftreten. In der Praxis unterscheidet man teilweise zwischen vollständiger Invarianz und robuster Invarianz, die gegen kleine Verschiebungen toleriert.

Zusammengefasst beschreiben Verschiebungsinvarianten Eigenschaften, die unter Translationen unverändert bleiben, und finden breite Anwendung in Mathematik, Physik und Informatik als Ausdruck von Symmetrie und Robustheit.