Verdopplungsformel

Verdopplungsformel ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet Formeln, die Funktionen bei dem Argument 2x mit Werten an x verknüpfen. Am bekanntesten sind Verdopplungsformeln in der Trigonometrie, wo sich aus der Addition von Winkeln einfache Identitäten ableiten lassen. Solche Formeln entstehen aus den Grundformeln für sin(a+b) und cos(a+b).

Die wichtigsten trigonometrischen Verdopplungsformeln sind sin(2x) = 2 sin x cos x. Diese Gleichung ergibt sich direkt aus der Addition von Winkeln und beschreibt, wie der Sinus eines doppelten Winkels durch Produkte von Sinus und Kosinus bei x dargestellt wird. Für das Kosinus-Doppelwinkel gilt cos(2x) = cos^2 x − sin^2 x. Aus dieser Identität lassen sich zwei alternative Darstellungen ableiten: cos(2x) = 2 cos^2 x − 1 und cos(2x) = 1 − 2 sin^2 x. Die Tangensverdopplungsformel lautet tan(2x) = 2 tan x / (1 − tan^2 x), vorausgesetzt, dass der Nenner nicht null ist. Diese Formeln ermöglichen das Umformen von Gleichungen und das Vereinfachen von Ausdrücken mit doppelten Winkeln.

Neben den trigonometrischen Verdopplungsformeln gibt es weitere Verdopplungsformeln in der Analysis, insbesondere die Gamma-Funktion. Die Duplication Formula der Gamma-Funktion lautet Gamma(z) Gamma(z+1/2) = 2^{1−2z} sqrt(pi) Gamma(2z). In deutscher Literatur spricht man dabei oft von der Duplikations- oder Verdopplungsformel. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Gamma-Werten und in Integralen.

Zusammenfassend dienen Verdopplungsformeln dazu, Ausdrücke mit dem doppelten Argument in Form von Ausdrücken mit dem ursprünglichen Argument zu schreiben, was Berechnungen, Integrationen und die Analyse erleichtert.