Vektutrymme

Vektutrymme är en matematisk struktur inom linjär algebra. Det består av en icke-tom mängd V tillsammans med två operationer: addition av vektorer och skalär multiplikation, där operationerna definieras över ett fält F. Dessa operationer uppfyller axiom som slutenhet under respektive operation, additionens associativitet och commutativitet, existensen av nollvektorn och additivt invers, samt distributivitet av skalär multiplikation över vektorsaddition och över skaläraddition. Dessutom gäller att ett heltalsskalärt multiplicerar med vektorn, där enhetsskalaren 1 verkar som identitet och (ab)·v = a·(b·v).

Exempel på vektutrymmen är R^n med den vanliga additionen och skalär multiplikation över fältet R, mängden polynom med reella koefficienter, samt mängden funktioner från en given mängd till F som uppfyller de nödvändiga egenskaperna. Vektutrymmet kan vara ändligt eller oändligt dimensionellt; dimensionen definieras som antalet vektorer i en bas, dvs. en mängd vektorer som är linjärt oberoende och som spänner hela utrymmet.

Underutrymmen är delmängder av V som själva uppfyller vektorutrymmesaxiomen och innehåller nollvektorn. En bas är en mängd vektorer som är linjärt oberoende och som spänner V; antalet vektorer i basen kallas dimensionen av V. Om dimensionen är ändlig sägs V vara ett ändligt vektutrymme; annars är det oändligt.

Linjära avbildningar mellan vektutrymmen bevarar addition och skalär multiplikation. De studeras genom begrepp som kärna (nollmängden som mappas till nollan) och bild, samt rank och rang-nullitet.