Vektorvärda

Vektorvärda funktioner är funktioner vars värden ligger i ett vektorrum, oftast i det n-dimensionella euklidiska rummet R^n. En vektorvärd funktion f har domänen D ⊆ R och målet i R^n, vilket innebär att varje x i D tilldelas en n-dimensionell vektor f(x) = (f1(x), …, fn(x)), där varje komponent fi: D → R är en s.k. r alsutsk. Begreppet används ofta för att beskriva kurvor eller parametriserade vägar i rumsliga rum.

Exempel: f(t) = (cos t, sin t) är en vektorvärd funktion från R till R^2 och beskriver en enhetscirkel. En annan exempel: f(t) = (t, t^2, e^t) är en vektorvärd funktion från R till R^3.

Operationer och egenskaper: Vid addition och skalär multiplikation görs operationerna komponentvis: (f + g)(t) = f(t) + g(t) och (a f)(t) = a f(t). Om f och g är vektorvärda funktioner, är även deras summa och skalär multiplikation vektorvärda. Om f är vektorvärd, definieras kontinuitet, deriverbarhet och integrabilitet komponentvis genom varje fi. Derivatan f′(t) är alltså (f1′(t), …, fn′(t)) och integralen ∫ f(t) dt = (∫ f1, …, ∫ fn).

Användningar: Vektorvärda funktioner används för att beskriva parametriska kurvor i geometri och analys, fysikens tidsberoende storheter som fart och acceleration, samt i system av differentialekvationer och numeriska metoder där flera koordinater följs samtidigt.

Noterbart: Normen ||f(t)|| definieras vanligtvis som sqrt(f1(t)^2 + … + fn(t)^2). Konvergens och konvergensbegrepp för vektorvärda funktioner följer ofta komponentvis.