Vektorfelds

Ein Vektorfeld ist in der Mathematik eine Zuordnungsfunktion, die jedem Punkt eines Gebietes D ⊆ R^n einen Vektor zuordnet. In der Ebene R^2 schreibt man F oft als F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)); im dreidimensionalen Raum R^3 als F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Die Größe des Feldes an einem Punkt wird durch den Betrag |F(x)| oder |F(x,y,z)| angegeben.

Wichtige Operationen an Vektorfeldern sind der Gradient, die Divergenz und die Rotation. Der Gradient ∇φ eines Skalarfeldes φ(x) ist ein Vektorfeld, das die Richtung und Größe der größten Zunahme von φ angibt. Die Divergenz ∇·F misst die Quell- oder Senkenstärke des Feldes, also wie viel Feldfluss pro Volumen aus dem Punkt austritt. Die Rotation oder der Curl ∇×F beschreibt die lokale Drehung des Feldes; in drei Dimensionen enthält er Informationen über Zirkulation; in der Ebene hat man eine reduzierte Form. Diese Operatoren helfen, Eigenschaften des Feldes zu charakterisieren, zum Beispiel ob es konservativ ist (ein Feld F gilt als konservativ, wenn es einen Potenzialfunktion φ gibt mit F = ∇φ und dann die Rotation verschwindet).

Lineare Integrale und Flussintegrale verbinden das Feld mit Kurven bzw. Oberflächen. Das Linienintegral ∮_C F · dr ermittelt die Arbeit oder Energie entlang einer Kurve C, das Oberflächenintegral ∬_S F · n dS beschreibt den durch eine Fläche S hindurchgehenden Fluss. Konservative Felder haben oft wohldefinierte Potenziale, wodurch Pfadunabhängigkeit und einfache Berechnungen möglich sind.

Vektorfelder treten in vielen Anwendungen auf, etwa in der Physik bei Feldern wie dem elektrischen oder magnetischen Feld, in der Fluiddynamik als Geschwindigkeitfeld einer Strömung oder in der Computergrafik und Geophysik.