Umkehrpunkten

Umkehrpunkten (Singular: Umkehrpunkt) bezeichnet man einen Ort, an dem sich die Richtung einer Größe umkehrt. Der Begriff wird in der Mathematik, Physik und in verwandten Disziplinen verwendet, um einen Wechsel der Richtung von Funktionen, Bewegungen oder Trends zu kennzeichnen.

Im mathematischen Sinn ist ein Umkehrpunkt häufig ein lokales Extremum einer reellen Funktion f: R -> R; dort ändert sich die Monotonie von steigend zu fallend oder umgekehrt. Typischerweise tritt er auf, wenn die erste Ableitung f'(x) = 0 ist oder undefiniert bleibt; der zweite Ableitungstest oder andere Kriterien helfen bei der Klassifikation.

Ein Wendepunkt hingegen bezeichnet den Wechsel der Krümmung (von konvex nach konkav oder umgekehrt) und muss nicht notwendigerweise eine Monotonieänderung beinhalten. So werden Umkehrpunkte von Wendepunkten unterschieden.

In der Physik beschreibt der Umkehrpunkt die Stelle, an der die Bewegung eines Teilchens oder Körpers ihre Richtung ändert, typischerweise wenn die Geschwindigkeit Null wird. In einem eindimensionalen Potential V(x) liegt ein klassischer Umkehrpunkt bei E = V(x).

In der Quantenmechanik erscheinen Umkehrpunkte in der WKB-Approximation als Grenzpunkte zwischen klassisch erlaubten und verbotenen Regionen. In der Datenanalyse dienen Umkehrpunkte der Kennzeichnung von Trendwechseln in Zeitreihen oder räumlichen Verlaufskurven.

Beispiele: Die Funktion f(x) = -(x+1)^2 + 4 hat bei x = -1 einen lokalen Höchstpunkt; ein Pendel erreicht seinen äußersten Punkt als Umkehrpunkt, an dem die Geschwindigkeit null ist.

Der Begriff leitet sich aus dem deutschen Umkehr (Umdrehung) und Punkt ab. Siehe auch: lokales Extremum, Wendepunkt, kritischer Punkt.