Transformationsmatriser

Transformationsmatriser, även kända som transformationsmatriser, är verktyg inom linjär algebra som används för att representera och utföra linjära transformationer i ett vektorrum. En linjär transformation är en funktion mellan två vektorrum som bevarar vektoraddition och skalär multiplikation.

I fallet med euklidiska rum, som är de vanligaste i många tillämpningar, representeras en linjär transformation i två eller tre dimensioner ofta av en matris. Om en punkt eller en vektor representeras av en kolumnmatris, kan transformationen appliceras genom att multiplicera denna vektor med den motsvarande transformationsmatrisen. Resultatet är en ny kolumnmatris som representerar den transformerade punkten eller vektorn.

Vanliga linjära transformationer som kan representeras av transformationsmatriser inkluderar rotationer, skalningar (storleksförändringar), reflektioner och skjuvningar. För rotationer i två dimensioner används en 2x2-matris där vinkeln för rotationen ingår i elementen. Skalningar representeras av diagonala matriser där skalningsfaktorerna ligger på diagonalen.

För transformationer i tre dimensioner används 3x3-matriser. Sammansatta transformationer, det vill säga att applicera flera transformationer efter varandra, kan representeras genom att multiplicera de enskilda transformationsmatriserna i rätt ordning. Denna egenskap gör transformationsmatriser mycket användbara inom datorgrafik, robotik, fysik och andra områden där geometriska manipulationer är centrala.