TrajektorienOptimierung

Trajektorienoptimierung ist ein Teilgebiet der Regelungstechnik und der Bewegungsplanung. Ziel ist es, eine zeitliche Entwicklung des Zustands und der Steuerung zu finden, die eine bestimmte Kostenfunktion minimiert und dabei die dynamischen Modelle sowie weitere Nebenbedingungen einhält. Typische Anwendungsbereiche sind Robotik, autonome Fahrzeuge, Raumfahrt sowie Biomechanik.

Formal wird der Zustand x(t) durch eine Dynamik beschrieben, oft ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), wobei u(t) die Steuerung darstellt. Die Kostenfunktion hat häufig die Form J = Φ(x(tf)) + ∫_{t0}^{tf} L(x(t), u(t), t) dt. Nebenbedingungen umfassen Anfangs- und Zielzustände x(t0) = x0, x(tf) = xf, Nebenbedingungen g(x(t), u(t), t) ≤ 0 sowie Gleichungen h(x(t), u(t), t) = 0. Objekteinfluss wie Hindernisse wird durch zusätzliche Pfadbedingungen abgebildet. Zeitwahlen können fest oder variabel sein, wobei tf als Variable in die Optimierung einbezogen werden kann.

Methodisch wird Trajektorienoptimierung indirekt oder direkt gelöst. Indirekte Methoden nutzen Pontrjagins Maximumsprinzip, um Randwertprobleme herzustellen. Direktmethoden beinhalten die Diskretisierung von x und u (z. B. Direct-Transcription, Direct-Collocation) oder Mehrschussverfahren, gefolgt von NLPlösungen wie SQP oder Innenpunktsverfah- ren. Diese Ansätze ermöglichen die Integration von Dynamik, Nebenbedingungen und Objekten in einem einzigen Optimierungsproblem, das anschließend numerisch gelöst wird.

Herausforderungen sind Nichtlinearität, Nichtconvexität durch Hindernisse, Rechenaufwand und Robustheit gegenüber Unsicherheit. Realzeit-Replanning und Hochdimensionale Systeme bleiben zentrale Forschungsfelder.